2009(수학 각론)(4-2)3.다각형[9차시]정다각형을 알 수 있어요(수98-99p,익힘책64p)

 

학습 목표

⦁정다각형의 뜻을 알고 이름을 말할 수 있다.

 

수업의 흐름

도입 ⑩ 스토리텔링 → 전개 ⑩ 다각형 관찰하기 ⑩ 정다각형 찾기 → 정리 ⑩ 생활 속에서 정다각형 찾기

 

*준비물: 자, 각도기

 

생각열기. 스토리텔링

여러 가지 모양의 다각형 살펴보기

다각형 마을에 여러 가지 다각형들이 모여 있어요. 이 다각형들의 모양을 살펴보면 제각각 특징이 있어요. 그중에서도 모양이 반듯한 다각형들이 눈에 띄네요. 이러한 다각형은 어떻게 분류해야 할까요?

 

Q 다각형의 모습을 살펴보니 어떤 생각이 드나요?

여러 가지 모습이 재미있습니다. 변의 수에 따라 복잡한 모습이 보입니다.

같은 사각형도 변의 길이에 따라 모양이 달라집니다.

같은 사각형도 각의 크기에 따라 모양이 달라집니다.

Q 변의 길이와 각의 크기에 주의하여 다각형을 살펴보세요.

변의 길이가 일정한 다각형이 있습니다. 각의 크기가 일정한 다각형이 있습니다.

 

활동 1. 다각형 관찰하기

여러 가지 다각형 중에서 변의 길이가 모두 같고 각의 크기가 모두 같은 다각형을 찾아내기

Q 여러 가지 다각형을 관찰해 보세요. 변의 길이가 모두 같고 각의 크기가 모두 같은 다각형은 어느 것인가요?

가，마, 사，아입니다.

Q 그렇지 않은 다각형은 어느 것인가요?

나, 다, 라, 바입니다.

 

도형의 이름. 정다각형

Q 정다각형에 대하여 알아보세요.

변의 길이가 모두 같고 각의 크기가모두 같은 다각형을 정다각형이라고 합니다.

정다각형은 변의 수에 따라 변이 3개이면 정삼각형, 변이 4개이면 정사각형, 변이 5개이면 정오각형 등으로 부릅니다.

 

다각형 중에서 특수한 경우로 변의 길이가 모두 같고, 각의 크기가 모두 같은 다각형을 정다각형이라고 한다.

용어가 한자어이므로 정다각형(正多角形)의 한자어 의미를 생각해 보며 용어에 대한 이해를 돕는다.

 

활동 2. 정다각형 찾기

Q 얼핏 보기에 정다각형으로 보이지만 정다각형이 아닌 것이 있어요. 주어진 다각형을 자세히 살펴보고 정다각형이 아닌 것을 찾아보세요.

나는 정사각형이 아닙니다.

다는 정육각형이 아닙니다.

Q 나는 왜 정사각형이 아닌가요?

변의 길이는 모두 같지만 모든 각의 크기가 같지 않습니다.

Q 다는 왜 정육각형이 아닌가요?

각의 크기는 모두 같지만 모든 변의 길이가 같지 않습니다.

 

마무리. 생활 속에서 정다각형 찾기

생활 속에서 정다각형을 찾아보기

Q 생활 속에서 여러 가지 정다각형을 볼 수 있어요. 사진 속에서 정다각형을 찾아 표시하고 이름을 이야기해 보세요.

정오각형 모양의 미국 국방부 건물, 정육각형 모양의 볼트 축구공에서 정오각형과 정육각형, 정팔각형 모양의 교통 표지판

Q 생활에서 가장 쉽게 볼 수 있는 정다각형은 어떤 것인가요? 어디에서 보았는지, 정다각형이 어떻게 쓰였는지 자신의

경힘을 이야기해 보세요.

지하철역에 정사각형 모양의 타일을 이용하여 모양을 꾸민 것을 보았습니다.

 

정다각형이려면 변의 길이도 같아야 하고 각의 크기도 같아야 한다. 일반적으로 네 변의 길이가 같은 마름모는 정다각형이 아니다. 하지만 각의 크기가 같으면 정다각형이 된다.

 

참고 자료

* 볼록다각형과 오목다각형의 의미

수학적으로 다각형 영역에서 임의의 두 점을 연결한 선분이 다각형 영역의 부분 집합이면 볼록다각형(convex polygon)

이고, 다각형 영역의 부분집합이 아니면 오목다각형(concave polygon)이라고 한다.

다각형 (a) 에서 육각형 영역의 어떤 두 점을 택한다 하더라도 두 점을 이은 선분은 육각형 안에 완전히 놓이므로 볼록다각형이고, (b)는 완전히 놓이지 않으므로 오목다각형이다.

 

* 볼록다각형과 오목다각형의 특징

볼록다각형	오목다각형
대각선이 모두 도형 내부에 있음.	도형 외부에 있는 대각선이 있음.
임의의 한 변을 연장하면 연장선에 대해 도형이 어느 한쪽에 놓임.	오목한 변을 연장하면 연장선에 대해 도형이 양쪽에 놓임.
180°보다 큰 각이 없음.	180°보다 큰 각이 있음.

 

* 이런 도형  도 사각형인가요?

학교 수학에서의 사각형의 정의에 따르면, 사각형은 네 선분으로 둘러싸인 평면도형이다. 이 도형에서 4개의 변, 4개의 각, 2 개의 대각선을 찾을 수 있다. 2개의 대각선 중 한 개는 도형의 내부에 있지만, 다른 한 개는 도형의 외부에 있다. 이 도형의 네 내각의 크기의 합이 360°라는 것도 알 수 있다. 따라서 수학적으로 이 도형은 사각형이다.

 

* 벌집은 왜 정육각형일까요?

기원후 3세기에 그리스의 수학자 파포스(Pappos, 290~350)가 남긴 『수학집성』이라는 책에는 ‘꿀벌의 집에 관한 이야기’라는 대목이 있는데, 거기에는 다음과 같은 구절이 있다.

“꿀벌들은 꿀을 붓기에 알맞은 그릇을 만들었다. 이 그릇은 불순물이 끼지 못하도록 서로 빈틈없이 연이어 있는 형태를 지녀야 한다. 그런데 동일한 점을 둘러싼 공간을 빈틈없이 채울 수 있는 도형은 정삼각형, 정사각형, 그리고 정육각형 세 가지밖에는 없다. 꿀벌들은 본능적으로 최대의 각(꼭짓점)을 가진 정육각형을 택했지만, 이 형태는 둘레가 같은 다른 둘보다 훨씬 많은 꿀을 채울 수가 있다.”

벌들이 정육각형을 만드는 이유는 재료를 되도록 아끼겠다는 ‘경제 원칙’을 본능적이고 경험적으로 터득하게 된 결과일 것이다.

 

꿀벌이 같은 양의 재료로 집을 지을 때 가장 넓은 공간을 확보할 수 있는 방법은 원이지만 안정적인 구조를 만들기 어렵다. 나머지 정다각형도 각각 단점을 가지고 있다. 정삼각형으로 벌집을 만들면 견고하기는 하지만 집을 짓는 데 드는 재료에 비해 확보되는 공간이 좁다. 또 정사각형으로 만들 경우에는 양옆에서 조금만 건드려도 잘 흔들리기 때문에 외부의 힘에 의해 쉽게 무너질 수 있다. 이런 점을 고려하면 재료에 비해 넓은 공간을 얻을 수 있으면서 서로 많은 변이 맞닿아 있어 구조가 안정적인 정육각형이 최선의 선택이 된다. 최소의 재료로 넓은 공간을 확보하고 안정적인 구조를 지향하는 자연의 경향에 의해 꿀벌은 정육각형이라는 최적의 모양을 선택한 것이다.

이와 같이 정육각형을 연결하여 평면을 채우는 방식인 허니콤 (honey comb, 벌집)은 곤충의 눈과 잠자리의 날개, 눈의 결정, 벤젠의 구조식에서도 발견할 수 있으며 물도 육각수가 좋다고 한다.

 

읽을 거리

• 배종수(2005). 『초등수학교육 내용지도법』. 경문사, 385.

• 박교석(2007). 『사각형 다시보기』. 수학사랑, 55~56.

• 김용운 외(2010). 『재미있는 수학여행(3. 기하의 세계)』. 김영사, 180~182.

• 박경미(2011). 『수학 비타민 플러스』. 김영사, 237~238.

 

창의 수학 활동

* 색종이로 정다각형 만들기

정사각형 모양의 색종이를 접어 정삼각형, 정사각형, 정오각형, 정육각형을 만들어 보고, 접은 모양이 왜 정다각형인지 설명해 보게 하는 활동이다. 이 활동을 통해 정다각형의 개념에 대한 이해, 도형 구성력, 공간 추론 능력, 분석력, 의사소통 능력, 창의력 등을 향상시킬 수 있다.